こちらのサイトの情報に沿って再度環境を構築してみたところ、起動毎にUSBケーブルでペアリングしなくてもBtSixを立ち上げてPSボタンを押せばそのまま使えるようになりました。
すんばらしィー

つーか、レジストリで参考にさせていただいたサイトのやり方でも大丈夫だったのかな。
これが正解ってのはないっぽいので、今の状態までたどり着ければどういう道を通ってもよかですが。

ただある時友人に「360のコントローラはPCで使えるよ」と聞き、それなら無線で何とか繋がったりしないのかと思い始め、調べてみるとどうやら色々手を尽くせば認識させられることが判明。

PS3のコントローラならBluetooth2.1以上のアダプタがあれば大丈夫らしいというか、プラネックスのこれならドライバが付いていて面倒くさくなさそう。
あらステキ、でもお高いんでしょう？

いいえ！ 今なら驚きの980円（マーケットプレイス価格）ですよ！（Amazon価格：1,150円・7/14現在）

ちっさ！
これをUSBにぶっさして専用のドライバを入れればいいらしいです。
最初に付属のCD-ROMのドライバを入れたらUSBが死んで大変なことになりました。なにこれー。
システムの復元でインストール前の状態に戻して、今度は上のサイトからドライバを落として入れてみたら、なんとかうまくいった模様。

しかしPOLのコンフィグではちゃんとゲームパッドとして認識してるのですが、なんかFFXIのコンフィグでは認識してないっぽい。あれー？と思いながらも起動してみたらやっぱりPOLまでは動くけどFFXIになった途端反応しなくなった。

あれこれ調べるとどうもレジストリをいじらないと駄目らしい。マジスか。めんどくせぇ。

PC版FinalFantasyXIをPS3コントローラで遊ぶ（まとめ）

こちらのサイトを参照させていただき、レジストリを弄ってみたら見事動きました。
念願の無線で操作です。
ただし、PCを終了するとペアリングが切れてしまうので起動するたびにUSBでつないでペアリングしなければいけないようです……。
あああぁぁぁ、なんか犠牲が多いな。

しかし後から発見したこちらの方法なら起動毎のペアリングは必要ないのかも？

PS3コントローラ(Sixaxis)をWindowsに導入し、FFXIで遊ぶ

要追試。